Resolució de problemes d'equacions amb dues incògnites

Bona vesprada benvolguts alumnes, com sabeu, les equacions són de gran utilitat per a diferents aplicacions. Per tant, avui us vaig a ensenyar com resoldre problemes de sistemes d'equacions amb dues incògnites.

Principalment, per a resoldre aquests problemes de sistemes d'equacions cal tenir en compte cinc senzills passos els quals anem a explicar a continuació:

1. Identificar les incògnites, per a açò solament hem de respondre a la pregunta què ens estan preguntant en l'enunciat del problema?

2. Nomenar a les incògnites, per a poder introduir-les dins de les equacions hem de nomenar-les i per a açò se solen utilitzar lletres, les lletres més usades són "x" i "y"

3. Plantejar les equacions, la qual cosa necessitem per a açò és transformar les paraules de l'enunciat en llenguatge algebraic i en el nostre cas extraure dues equacions per a poder resoldre les dues incògnites (necessitem tantes equacions com a incògnites per a poder resoldre el problema)

4. Resoldre el sistema, per a poder procedir amb la resolució del problema, aplicarem el mètode més senzill, ja siga per substitució, igualació o per la reducció.

5. Interpretar la solució, cal donar-li un significat coherent per a donar el resultat.

Explicació de la fórmula de les equacions de segon grau

Avui us anem a mostrar en el Blog de l'assignatura d'on ix la fórmula que apliquem directament, per a resoldre les equacions de segon grau.

És una equació fonamental per a la resolució d'aquestes equacions, i segurament no us heu parat a pensar què explicació té i d'on ix, però avui resoldrem la incògnita perquè, malgrat que no calculem la fórmula i l'apliquem directament, sapiem d'on ix.

l'expressió següent mostra una equació de segon grau, on les lletres "a", "b" i "c" són els coeficients i "x" són les variables.

Cal tenir en quanta que el coeficient "a" ha de ser diferent de zero, ja que sinó no tindríem una equació de segon grau.

A continuació, a l'expressió anterior (que és l'expressió genèrica de les equacions de segon grau) li anem a aplicar els criteris d'equivalència per a arribar a la fórmula que volem obtenir.

en primer lloc anem a restar "c" en tots dos membres:

El següent que anem a fer és multiplicar tots dos membres per "2a", per tant l'expressió quedaria de la següent forma:

El següent pas, és sumar als dos membres "b^2"

Segurament us estareu preguntant amb quina fi fem totes aquestes operacions, doncs bé, és per a expressar la fórmula com el quadrat d'un binomi, per a simplificar les coses.

De fet el membre de l'esquerra es pot expressar com un binomi:

Fem l'arrel quadrada en tots dos membres:

Després restem "b" en tots dos membres:

I finalment només hem de buidar la "x", i per a açò dividim en tots dos membres per "2a":

I ja tenim la fórmula de les equacions de segon grau. És clar que cada vegada que resolguem una equació de segon grau no hem de demostrar la fórmula, ens la hem d'aprendre, però almenys ja sabem com podem obtenir-la.

Equació del coet

Bona vesprada alumnes, avui actualitzem el blog amb una equació molt interessant i és que no sabeu la quantitat d'equacions que s'apliquen per a estudiar el comportament de les coses i entendre el per què del funcionament d'elles.

Avui anem a veure que equació regeix el comportament del llançament d'un coet. Si, heu llegit bé, i és que no solament és important el disseny, l'assemblatge, o el motor també és important com és propulsat a l'espai ja que si no ho tenim en compte tots els passos anteriors no hagueren servit per res.

El nom d'aquesta equació se li coneix com “L'equació del coet de Tsiolskovski” i és que el seu nom ve dau pel científic rus Konstantín Tsiolskovski que la va publicar en 1903, malgrat que William Moore, un matemàtic britànic, l'haguera formulat abans en 1813.

Aquesta equació diu que l'increment de velocitat a causa de l'acció del motor del coet, cridada Δv, és proporcional al logaritme del quocient entre la massa inicial, mi, la massa final del coet, mf, sent la constant de proporcionalitat igual al producte de l'acceleració de la gravetat, g, per l'impuls específic del coet, Is (paràmetre que depèn del tipus de propulsat utilitzat).

Propietats de les equacions

Hola estimats alumnes, avui anem a veure quines són les propietats de les equacions que cal tenir en compte per poder resoldre-les.

Aquestes són molt senzilles i sempre es compleixen, així que estar atents, ja que si us queden clares no tindreu cap problema a l'hora de resoldre qualsevol equació.

1r Propietat

Si a una equació lineal se li suma o se li resta un número en els dos membres de la seva igualtat, el resultat final és el mateix que si no li haguéssim sumat o restat aquest número. Aquesta nova equació se li dóna el nom de semblant.

Com podem veure en el següent exemple.

2n Propietat

Quan multipliquem o dividim el mateix número als dos costats de la igualtat, el resultat tampoc varia. Però cal tenir en compte que es compleix amb qualsevol número menys amb el zero.

El podem comprovar en el següent exemple.

3r Propietat

Quan elevem una potència diferent de zero a tots els terminis, el resultat tampoc ens varia i la igualtat es manté.

Aquí també podreu veure un exemple.

 Aquestes propietats són molt importants saber-les a l'hora de resoldre una equació.

Alicia en el país de les matemàtiques! No perdó, en el país de les meravelles!

Molts de vosaltres heu llegit "Alicia en el país de les meravelles" o fins i tot "A través del mirall i el que Alicia va trobar allà", i si no ho heu fet, estic completament segura que la pel·lícula de Disney o de Tim Burton si l'heu vist.

El que molts de vosaltres no sabreu és que aquest conte està basat en molts conceptes matemàtics i és que el seu autor Charles Lutwidge Dodgson, pel que tots coneixem per Lewis Carroll, era matemàtic i d'ahi ve aquesta relació.

A continuació us explicaré tres escenes que apareixen en el conte i la seva respectiva explicació amb les matemàtiques.

El cau del conill

Quan Alícia veu per primera vegada al conill i ho persegueix, ho segueix fins el seu cau i ella s'introdueix en ella per parlar amb ell. Quan entra al cau, es precipita al buit en una caiguda interminable i Alícia fa certs comentaris que recorden al concepte de límit

El toll de llàgrimes

En aquest capítol, Alicia realitza les següents operacions aritmètiques:

4 × 5 = 12

4 × 6 = 13

4 × 7 = 14

A priori pensem que no té sentit els resultats que ens està dient però si ho analitzem el sistema de enumeració que utilitza no és en base 10. Si no en base 18, 21 i 24 respectivament.

Un berenar de bojos

Alicia tracta com semblants les accions "dic el que penso" i "penso el que dic" al que el barreter li respon "veig que fa com" és el mateix que "com que veig". Això recorda a la funció i a la seva inversa.

Equacions enigmàtiques

Encara que sembli increïble, avui dia hi ha enigmes per a resoldre en el món de les matemàtiques. De fet, es pagarien quantitats milionàries a la persona que finalment aconseguira desxifrar-les.

En l'actualització d'avui, anem a veure dues de les equacions que ara per ara segueixen sent un misteri a l'hora de donar-los una demostració.

L'Equació de Navier-Stoke

Aquesta equació és molt utilitzada en el món de la física, concretament és utilitzada per descriure els moviments dels fluids i estudiar el comportament de la seua velocitat.

És una equació diferencial no lineal i encara que és molt utilitzada, no s'ha trobat la seva solució.

Les Equacions de Yang Mills

Aquestes, igual que l'anterior, tenen la seva utilització en el món de la física. Serveixen per a descriure els camps de força fonamentals.

Per tal d'explicar el infinitesimal, Yang i Mills van construir un model basat en les teories geomètriques.

La teoria afirma que les partícules quàntiques tenen massa positiva. Aquesta teoria esta demostrada de forma experimental, però teòricament no s'ha pogut demostrar.

Les matemàtiques bones per al cervell

Aquesta publicació va dedicada als estudiants que no els agraden les matemàtiques, que els ha convertit en l'assignatura més difícil d'estudiar i aprovar. Amb aquesta publicació, intentaré motivar els alumnes perquè més enllà d'aprovar una assignatura, vegin que les matemàtiques són útils per a la vida quotidiana i tenen grans beneficis per al nostre cervell.

A continuació anem a enumerar els tres beneficis més destacats que pots experimentar gràcies a les matemàtiques:

1. Desenvolupar el pensament analític

Això ens ajuda a enfrontar-nos de manera més eficient als problemes de la vida quotidiana. També ens ajuda amb la curiositat, habilitat d'investigar, buscant l veritat en evidències aconseguint separar les nostres emocions.

2. Millorar el raonament

Com més entrenem la nostra ment amb les matemàtiques, més capacitat tindrem de generar idees, de conèixer les opcions i decantant per la més convenient segons la lògica. Per tant, encara que siguem humans i ens equivoquem, les matemàtiques ajuden a triar l'opció més correcta.

3. Agilitat mental

Millora la capacitat de concentració per abordar problemes i amb entrenament ganes velocitat de raonament.

Per tant animat i motivat amb les matemàtiques

Història de l'àlgebra

Sabem que les matemàtiques formen part de la nostra vida diària, per exemple, les fem servir des de pagar per comprar alguna cosa al supermercat fins a comptar els dies que ens queden per estudiar aquest examen que ens fa tanta por presentar-nos.

Sent gairebé inconscients apliquem números, equacions, raonaments matemàtics, però sabem des d'on es remunten? A l'entrada del blog d'avui sabrem una mica més d'història del àlgebra i així saber on va sorgir, des de quan i a qui hem d'estar agraïts per aquest avanç en la història de les matemàtiques.

La paraula "àlgebra" prové del vocable àrab الجبر "al-ŷabar" que significa "restauració" o "reponimiento, reintegració". Deriva del tractat escrit al voltant de l'any 820 d. C. pel matemàtic i astrònom persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conegut com Al Juarismi) al que se li coneix com un dels pares de l'àlgebra.

Al Juarismi

Tot i que les arrels del algebra ja podien rastrejar des de l'antiga babilònia (Segle XIX a. C), ja que havia desenvolupat un sistema aritmètic on podien resoldre càlculs en forma algorítmica, gràcies a elles avui en dia es poden resoldre equacions lineals, equacions de segon grau i equacions indeterminades. De manera simultània, els egipcis grecs i xinesos ja resolien equacions per mètodes geomètrics.

Ja remuntats en l'Edat Moderna Europea, l'àlgebra pateix una evolució que permet resoldre fins equacions polinòmiques de tercer i quart grau.

Finalment, l'àlgebra abstracta es va desenvolupar al segle XIX, on els treballs de Gauss van generar moltes estructures algebraiques.

Carl Friedrich Gauss

Equacions Famoses

Ja que la nostra unitat tracta sobre la equacions, avui anem a veure algunes de les equacions més famoses de la història que han donat peu a entendre el món millor i a fer història.

1. Teorema de Pitàgores

Aquest teorema és aplicable únicament als triangles rectangles, això vol dir que un dels angles del triangle ha de tenir 90º. Aquest teorema va ser descobert pel filòsof grec Pitàgores al segle VI a.C i consta de la següent expressió:

on "a" i "b" representen els catets del triangle rectangle (els dos de menor longitud dels tres i units per l'angle de 90 º) i la "h" representa la hipotenusa (costat de major longitud).

2. Teoria de la Relativitat

És la fórmula més coneguda i amb més repercussió que va canviar la perspectiva del món. Descoberta pel famós físic alemany Albert Einstein, està petita fórmula explica el per que els astronautes tenen un envelliment més lent que la gent que continua a la terra o fins i tot el canvi de forma d'objectes que cauen a grans velocitats.

Aquesta expressió ens diu que l'energia d'un cos en repòs (representada per la lletra "E") és igual a la seva massa (m) multiplicada per la velocitat de la llum al quadrat (c).

3. Formula d'Euler aplicada a políedres

Tant val si el poliedre on s'apliqui la fórmula és regular o irregular, aquesta equació es complirà:

On la lletra "V" representa el nombre de vèrtexs del políedre, "C" és el nombre de cares i "A" són les arestes.

Definició y parts en què es divideix una equació

Arrenquem amb la primera entrada del blog de la unitat didàctica sobre les equacions, en aquesta definirem el significat d'equació i les parts en què es divideixen.

Segons els experts en Matemàtica, una equació (concepte derivat del llatí aequatio) constitueix una igualtat algebraica on apareix com a mínim una incògnita que exigeix ​​ser descoberta per qui resol l'exercici aplicant les operacions pertinents.

Les parts en què es divideix una equació són cinc i són les següents:

Membres: Són les expressions que queden separades pel signe "=". Com es pot apreciar a la imatge del final, la de la part de l'esquerra s'anomena "primer membre" i la part de la dreta "segon membre".

Termes: són els monomis que formen cada membre explicat en l'anterior definició.

Incògnites: normalment expressades per lletres (poden haver un o més), és la part que hem de buidar per poder resoldre l'equació.

Grau de l'equació: és el major exponent, un cop realitzades totes les operacions, que porta la nostra incògnita. Això ens dóna si són de primer grau o segon grau i ens permet saber com abordar la resolució de la nostra equació.

Solució / Solucions: Un cop aplicades totes les operacions per a resoldre la nostra equació, és el valor / valors que vam aconseguir obtenir per a les nostres incògnita / incògnites.